Tienes acceso al DB?
Fácil
Copia todos los archivos del Joomla al root de nuevo dominio (o no sé si Joomla permita una instalación 'multi-site'), después busca el archivo en donde están guardados tus datos de acceso a la DB.
Exporta la DB del sitio a copiar.
Crea la nueva DB e importa todos los datos del sitio original.
Cambia las credenciales de acceso del archivo que se quedó pendiente, súbelo y listo.
En caso de tener algunos problemas (no lo sé, no me gusta Joomla y no lo conozco), busca en l tabla de la configuración del sitio en la DB que apunte a tu nuevo dominio, no al viejo (por ejemplo el WP tiene una fila que se llama "site_url" y "blog_url").
Saludos!