que tal amigo, espero y esta informacion te sirva,
a mi me paso un caso similar pero de pasar de windows vista a xp, lo que paso ahi esque no se por que motivo los ventiladores de los disipadores no funcionaban correctamente cuando le cambie el sistema, y pues la computadora se calentaba y por ende se apagaba, te recomiendo que le restaures sus sistema original y pruebes, por que si es por esete motivo se podria quemar tu procesador o hasta la placa principal, y por experiencia te digo que no sale muy barato, saludos y espero que puedas solucionar tu problema.

mira si tienes todos los controladores instaldos, aunq, con 1gb de memoria yo prefiero q pases a xp, con 7 pues arranca bien pero con un par de programas q le metas de mas se empezara a poner un pocomas lento.

asi es el procesador se calienta y se apaga solucion venden ventiladores para laptop y listo

Por que no bajas todos los drivers de nueva cuenta desde la página de HP, y la vuelves a formatear otra vez con win 7, posiblemente un driver te está causando el problema. El activador no tiene nada que ver con que se apague.
También puedes usar el Everest portable para saber la temperatura de tu Lap, y así te das cuenta de por donde está la falla.
Si antes tenías el win Vista no te tiene que fallar la lap, yo tengo dos, una Dell que venía con vista y una Asus netbook, que traen win XP, y a las dos les puse win 7 y jalan muy bien.
Si no te funciona has lo que dice dalberher, regresate a win vista y avisas que pasó.