Saludos:
Por lo que se ve, el problema es de tu screen, puede pasar lo siguiente: que el cable que va de la motherboard al screen esté ligeramente zafado, o que está con una pequeña grieta en la membrana donde va todas las conexiones al screen, de mi sincera opinion, si está rota la pantalla (por dentro) y necesitas cambiarla, si fuera el GPU, sencillamente no encendería.

concuerdo con el compañero.. ese problema es del flex que va de la tarjeta a la pantalla posiblemente se daño, afortunadamente las mini son muy fáciles de desarmar, lo que puedes hacer es primeramente es sacar vídeo de sus salidas para que te quites de dudas de que sea el chip de vídeo.. posteriormente si no esta la pantalla rota o estrellada es cambiar el flex. si dices que al acomodar en cierta posición funciona, quiere decir que en esa posición el flex hace contacto. por ultimo puedes revisar que se no se haya zafado de algún lado el contector. (a mi me paso con una maquina el conector se salio un poco y solo lo reacomode y volvio a funcionar) esta podría ser mi opinión, esperemos que alguien mas te de su punto de vista y vas descartando opiniones... suerte y saludos