Si ya hiciste que se mostraran los datos en un textarea con un botón, no sé que le encuentras de difícil el agregar un simple método a otro botón.
No tienes bien asimilado el paradigma de la POO, sólo basta invocar un simple método de ordenamiento con el ActionPerfomed.
Si no tienes ni idea busca en Google que hay miles de ejemplos de cómo utilizar JButton de java, una buena página es
http://www.java2s.com/
Para tu particular caso, se me ocurre recuperar los datos del textarea y mandar al método de ordenamiento un array con éstos y que te devuelva el mismo array pero ya ordenado. Así de simple.